Una vez desalado el bacalao, lo cocemos unos 5 minutos en un cazo con agua hirviendo. Lo dejamos enfriar y lo desmigamos en trocitos muy pequeños (del tamaño de las patatas paja) quitándole piel y espinas si las tuviera.
Pelamos la patata y la cortamos con la mandolina con la cuchilla más fina, para hacer patatas paja o patatas cerilla. Si no tenemos mandolina, habrá que hacer el corte a cuchillo, haciendo rodajas finas y luego cada rodaja cortándola en bastoncitos finos.
Ponemos las patatas en remojo unos 15 minutos para quitarles el almidón. Las ponemos en un colador y las pasamos por debajo del grifo hasta que el agua salga transparente. Las escurrimos bien y las dejamos secando en un paño de algodón o papel de cocina.
Freímos las patatas de puñado en puñado, en abundante aceite de oliva o girasol a 180ºC. Con la espumadera vamos separándolas de vez en cuando para que no se peguen, hasta que estén bien doradas y crujientes. Las salamos y las reservamos sobre papel absorbente.
Ponemos un par de cucharadas de aceite de oliva en una sartén grande y sofreímos el diente de ajo picado.
Añadimos la cebolleta cortada en juliana y la sofreímos hasta dejarla bien pochada y transparente. Añadimos un poco de sal y pimienta negra molida.
Añadimos el bacalao desmigado y lo sofreímos un par de minutos antes de incorporar las patatas paja. Vamos removiendo todo para que se vaya calentando de manera homogenea.
Batimos los huevos en un cuenco, y en el momento de añadirlos a la sartén, apagamos el fuego, y vamos removiendo continuamente para cuajar el huevo lentamente con el calor residual y que quede una textura cremosa. Rectificamos de sal.
Añadimos el perejil bien picado y mezclamos. Decoramos con más perejil por encima y algunas aceitunas negras cortadas a la mitad si queremos.